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猜想的能力,是学好数学的基础

【作者:李教员,编号39771 点击数:131 更新时间:2020-05-21

数学是基于逻辑思维能力的一门学科,因此,培养强大的逻辑思维能力对学习数学来说至关重要,这一点一般人都能理解。但如果说猜想的能力也非常重要,也是学好数学的基础,大部分人可能就觉得不太好理解。

如果对数学发展的历史有所了解,便会发现,很多数学的进展都是基于猜想。比如大众所熟知的哥德巴赫猜想就是一个典型的例子。实际上现在大部分还没有证明出来的数学难题,都是前人的猜想。数学发展的历史,基本上可以说就是先提出猜想,然后证明猜想的历史。

为什么猜想如此重要?因为逻辑思维必须有一个起点。这个起点可以是别人给的,也可以是自己给的。无论是别人给的还是自己给的,本质上都是从猜想出发。当然,对于成熟的数学领域,人类已经积累了足够的经验,原来的猜想都变成了理所当然的逻辑起点,会让人忘记了它们实际上起始于猜想。

对于学生学习数学来说,道理是一样的。人类数学发展的过程,是人类整体对数学从未知到已知的过程,而学生学习数学,是个体对数学从未知到已知的过程。唯一的不同是,人类整体是摸索的,而个体有很多可以借鉴的前人的经验。但无论有多少可以借鉴的经验,依然不能缺失猜想的能力。

猜想的能力需要培养,因为猜想并非天马行空,并非乱想,而是根据数学问题中的条件和结论中提供的蛛丝马迹,猜想问题可能解决的途径。比如下面这道题:

若a>0、b>0,证明:a^3+b^2+1/ab >= ab+a+1

如果猜到只有a=b=1的时候取等号,那么这道题就能找到解决办法,如果没有猜到这一点,这道题就无法下手。在猜到a=b=1的情况下,就可以利用基本不等式中,满足a=b=1时取最小值的不等式来配出各种不等式的组合来,最后证明出结果:

a^3+b^2+1/ab

= (1/2 + a^3/2 + a^3/2) + b^2 + 1/ab -1/2

>= 3a^2/2 + b^2 + 1/ab -1/2 (三个数的算术平均值不小于几何平均值)

= (a^2 + b^2) + 1/ab + (1/2 + a^2/2) – (1/2 + 1/2)

>= 2ab + 1/ab + a – 1(两个数的算术平均值不小于几何平均值)

= (ab + 1/ab) + ab + a - 1

>= 2 + ab + a – 1 (两个数的算术平均值不小于几何平均值)

= ab + a + 1

可以看出来,证明过程是逻辑的,但起点来自于a=b=1时不等式取等号的假设。能猜到这个假设,不一定能证明出结果,但如果没有猜到,就肯定证明不出结果。

在数学问题的解答过程中,这种情况非常普遍。但老师多半都轻描淡写地忽略了猜想的过程,而把重点放在后续的逻辑过程当中。长此以往,学生就会出现一种怪圈:让他自己想,很多稍微难一点的题目,他就想不出来,但老师只要稍加提示,他就“恍然大悟”,马上能做出来。可是再碰到一个难题,又想不出来。他一直都会被一道坎卡住,越不过去,无论怎么努力,数学成绩始终停留在不好不坏的中等水平。其中原因,很可能就是因为不具备猜想能力,没有有意识地对这种能力进行训练。因此,家长如果希望孩子数学成绩好,对孩子这种能力的训练和提升应该引起足够重视。

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